Triángulos

Triángulos

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de un plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.

El triángulo consta de 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices. (Fig. 1).  Cuyos puntos de intersección son los vértices del triángulo: A, B y C.

Figura 1

 

Los Segmentos determinados son los lados del triángulo: a, b y c, esos lados forman los ángulos  interiores que se nombran con las letras de los vértices. El lado opuesto a un ángulo se nombra  con la misma letra, pero minúscula.

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).

Consideraciones:

• En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
• En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
• En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
• La suma de los ángulos internos siempre es 180º.

Clasificación de los triángulos.

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo al tamaño de sus lados y la amplitud de sus ángulos.

De acuerdo al tamaño de sus lados los triángulos se clasifican en: Equilátero, Isósceles y Escaleno.

Equilátero.

Es cuando un triángulo tiene 3 lados iguales, y en consecuencia sus tres ángulos internos son iguales y cada uno mide 60º. (Fig. 2)

 Figura 2

Isósceles.

 

Es cuando un triángulo tiene 2 lados iguales, y por lo tanto los ángulos adyacentes al lado desigual son iguales entre si.  (Fig.3)

Figura 3

Escaleno.

 Es cuando un triángulo tiene 3 lados diferentes, y por lo tanto sus ángulos también son diferentes. (Fig. 4)

Figura 4.

 

De acuerdo la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en: Acutángulo, Rectángulo y Obtusángulo.

Obtusángulo.

Es aquel que tiene un ángulo obtuso. (Fig.5)

Figura 5.

Características:

a ≠ b ≠ c    Tres lados diferentes

∠ α > 90° un ángulo mayor de 90°



Acutángulo. 

Es el que tiene sus tres ángulos agudos . (Fig.6)

 Figura 6.

Características:

a ≠ b ≠ c           Tres lados diferentes

∠α ≠∠ β ≠ ∠ γ < 90°              Tres ángulos diferentes

Rectángulo.

Este tipo de triángulo tiene un ángulo recto (90°). (Fig.7)

Figura 7.

 

Por cierto que los lados  del triángulo rectángulo tienen sus nombres especiales:

                                                                                    __      __

Los catetos son los lados que forman el ángulo recto:  AB y  AC

                                                                             ___

La hipotenusa  es el lado opuesto al ángulo recto: BC.

Rectas y puntos notables en el Triángulo.

Altura.

                                                                                                                           

Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación:   

 ___   ___   ___

AM , BP y CN . ( Fig.8)

Figura 8.

 

Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado, las cuales se designan con la letra “h” y su subíndice que indica el lado.  (Fig.9) 

figura 9.

  ____

AM = ha

____

BP = hb

 ____

CN = hc

El punto 0 donde concurren las tres alturas se llama ortocentro.

Mediana.

                                                                               

Es el segmento  trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto: 

___  ___   ___

AR, BP y CQ. (Fig.10)

 ___        ___

AP = PC

 __      __

AQ = BQ

 __     ___

BR = CR

Figura 10.

 

Hay tres medianas, una correspondiente a cada lado, las cuales se designan con la letra “m” y un subíndice que indica el lado:

  ____                                                                             

AR= ma

_____                                                                                

BP= mb

 _____                                                                             

CQ= mc

El punto de intersección, G, de las tres medianas se llama Baricentro.

Mediatriz.

 Es la perpendicular en el punto medio de cada lado. Hay tres mediatrices que se denominan con la letra “M” y un subíndice que indica el lado. (Fig.11)

Figura 11

 _____

KU = Mb

 ____

KT = Mc   

 ___       

KS = Ma

El punto K  de intersección de las tres mediatrices se llama circuncentro.

Bisectriz

Es la recta que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior, y consecuentemente hay tres bisectrices, una para  cada ángulo, que generalmente se nombran con letras griegas: α (alfa), β (beta), γ (gamma). (Fig.12)

Figura 12.

∠1 = ∠2

∠3 = ∠4

∠5 = ∠6

El punto l donde concurren las tres bisectrices se llama  incentro.

 http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

En el vídeo Nature by Numbers  en el minuto 2:35 se puede observar los triángulos y sus clasificaciones. Allí aparece representado  los triángulos isósceles. En el contexto del Girasol y en la animación de las alas del insecto.

El vídeo me pareció sorpréndete, me llamo mucho la atención como la matemática aparece representada en la naturaleza. El creador de este video tiene mucha imaginación porque encontró la forma de expresar la matemática en la naturaleza  y no solo una definición sino varios conceptos de la matemática.

Fuentes :

http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm

http://geometriadinamica.org/compartidos/conceptosbasicosdeTrigonometria.pdf

Matemática. Teoria y Práctica. Ediciones Pensum.

Chávez Reyes, C. León Quintanar, A. (2007). LA Biblia De La Matemática. Mexico D.F